Dizilerde Limit Tanımı

Aşağıda, sürgü üzerinde N değeri verilmiştir.
{1/n} dizisinin, aşağıda gösterilen sayı doğrusunda aldığı değerler, noktalar ile belirtilmiştir.
Klavyenizin 'shift' tuşuna basılı tutup, fare tekerleği ile animasyona yaklaşıp uzaklaşabilirsiniz.
Klavyenizin 'shift' tuşuna basılı tutup, sol fare tuşu ile animasyon ekranını sürükleyebilirsiniz.

  • Dizilerde genel limit tanımı sağ altta verilmiştir. Bu tanım, "n sonsuza giderken an dizisinin limiti L'ye yakınsar." önermesinin formal halidir. Bu örnekte, sağ üstte de verildiği gibi, an=1/n ve L=0'dır.
  • N değerini sürükleyin. {1/n} dizisinin aldığı değerler, 1'den N'ye kadar, sayı doğrusu üzerinde işaretlenecektir. N'yi birer birer değiştirmek için klavyenizin yön tuşlarını kullanın.
  • Sol alttaki buton, N'nin otomatik olarak değişmesini sağlar. N'yi 1'e getirip butona tıklayın. Noktalar, sıfıra doğru giderken animasyonu yakınlaştırın ve gerekli gördüğünüz yerlerde animasyon ekranını kaydırarak noktaları gözlemleyin.
  • Sol üstteki sürgüden ε değerini azaltın. ε'un, sağında kalan noktaların kırmızı, solunda kalan noktaların yeşil olduğuna dikkat edin.
  • ε'u 0.01'den biraz büyük bir değere getirin. N'yi 1 yapıp, sol alttaki butona tıklayarak animasyonu tekrar hareketlendirin. N artarken, animasyonu sıfıra doğru yakınlaştırın. N, 100 civarında iken animasyonu durdurun ve ε'u bütün noktaların soluna getirin. Tekrar animasyonu oynatın. Noktalar ε'un soluna geçmeye başladığında animasyonu tekrar durdurun ve ε'un değerini tekrar azaltıp, bütün noktaların soluna gelmesini sağlayın. Bu işlemi, animasyonun izin verdiği en küçük ε değerine (0.00101) ve en büyük N değerine (1000) kadar sürdürün.
  • Varsayalım ki ε ve N değerleri böyle bir sınıra sahip olmasınlar. Görülüyor ki; ε'u ne kadar küçük yaparsak yapalım, N'yi, ε'un solunda yeni noktalar oluşturabilecek kadar, büyük yapabiliriz. Sizce de bu doğru mudur?
  • Bu tespit, sol alttaki limit tanımıyla uyuşuyor mu? Tanıma göre; her ε pozitif reel sayısı için, öyle bir N doğal sayısı vardır ki, N'den büyük her n doğal sayısı için, 1/n<ε'dur. Sayı doğrusundaki noktaların dizinin aldığı değerler olduğunu ve yeşil noktaların ε'dan küçük, kırmızı noktaların ε'dan büyük değerlere tekabül ettiğini hatırlayın.
  • Yukarıdaki gözlemleriniz doğrultusunda {1/n} dizisinin limitinin sıfır olduğunu, limit tanımından ispatlayabilir misiniz?

Eğer animasyon çalışmıyor veya çok yavaş çalışıyorsa, alternatifini deneyin.

Orçun Altınsoy, 28 Kasım 2013, GeoGebra ile oluşturuldu

www.e-ders.org

⇐ Bütün animasyonlar