Fonkisyonlarda Limit Tanımı

Aşağıda, sürgü üzerinde ε ve δ değerleri verilmiştir.
f(x) fonksiyonu, aşağıda görüldüğü üzere, a noktasında tanımsızdır.
Fonksiyon üzerindeki tanımsız olan yerin (açık yuvarlakla belirtilen nokta), y eksenine iz düşümü, f(a) olarak verilmiştir.
Klavyenizin 'shift' tuşuna basılı tutup, fare tekerleği ile animasyona yaklaşıp uzaklaşabilirsiniz.
Klavyenizin 'shift' tuşuna basılı tutup, sol fare tuşu ile animasyon ekranını sürükleyebilirsiniz.

  • Fonksiyonlarda genel limit tanımı sağ altta verilmiştir. Anlamayı kolaylaştırmak için, animasyonda birbirleriyle alakalı verilerin aynı renklerle ifade edildiğine dikkat ediniz.
  • ε değerini sürükleyin. ε azaldıkça yatay çizgilerin f(a)'ya yaklaştığına, buna bağlı olarak da, fonksiyonda yeşil ile renklendirilen bölgenin küçüldüğüne dikkat edin. y ekseni üzerindeki doğru parçası, f(a)'nın ε komşuluğudur.
  • δ değerini sürükleyin. δ azaldıkça dikey çizgilerin a'ya yaklaştığına, buna bağlı olarak da, fonksiyonda kırmızı ile renklendirilen bölgenin küçüldüğüne dikkat edin. x ekseni üzerindeki doğru parçası, a'nın δ komşuluğudur.
  • ε'u 1'e getirin. δ'yı, fonksiyon üzerindeki kırmızı ile renklendirilen kısım yok olana kadar, küçültün. Çok küçük yapmamaya dikkat edin! δ'da daha hassas bir değişim için sol alttaki butonu da kullanabilirsiniz.
  • a'nın δ komşuluğundaki (mavi doğru parçası) her x değeri için, f(x) değerinin, f(a)'nın ε komşuluğunda (mor doğru parçası) kaldığına dikkat edin. Daha açık bir ifadeyle; (a-δ,a+δ) aralığındaki her x değeri için, f(x), (f(a)-ε,f(a)+ε) aralığındadır. Bunun, sağ altta verilen limit tanımındaki koşul olduğuna dikkat edin. Biraz önce ε=1 değeri için, bahsedilen koşulu sağlayan bir δ buldunuz! Yani limit tanımını, ε=1 değeri için sağladınız.
  • Şimdi ε'u, fonksiyon üzerinde tekrar kırmızı kısım oluşana kadar küçültün. Yeni ε değeri için limit tanımı sağlanıyor mu? a'nın δ komşuluğundaki hangi x değerleri için tanım sağlanıyor? Hangi x değerleri için tanım sağlanmıyor? Fonksiyon üzerindeki kırmızı ve yeşil kısımlara dikkat edin. Bu kısımlar arasındaki fark nedir?
  • Tekrar δ'yı küçültüp kırmızı kısımların yok olmasını sağlayın. ε'u tekrar küçültün ve kırmızı kısımları ortaya çıkarın. Bu yeni ε için de, δ'yı küçültüp, limit tanımını sağlayın. Bu işlemi en küçük ε değerine (0.00595) kadar sürdürün. Gerekli gördüğünüz yerlerde animasyonu yakınlaştırın ve animasyon ekranını kaydırmayı unutmayın.
  • Sürgü üzerindeki her ε değeri için limit tanımının sağlandığını gördünüz mü? Bunun yanında; herhangi bir ε için limit tanımını sağlayan bir δ bulduğumuzda, bu δ'nın, söz konusu ε değerinden büyük olan her sayı için limit tanımını sağladığı, şekilden açık bir biçimde görülmektedir.
  • Yukarıdaki fonksiyonun sürekliliğini göz önüne alarak, animasyonun yetişmediği daha küçük ε değerleri için, limit tanımındaki koşulu sağlayan δ değerlerinin bulunabileceği sizce de aşikar mıdır?

Eğer animasyon çalışmıyor veya çok yavaş çalışıyorsa, alternatifini deneyin.

Orçun Altınsoy, 28 Kasım 2013, GeoGebra ile oluşturuldu

www.e-ders.org

⇐ Bütün animasyonlar